連続の定義

例えば

広義リーマン積分で

y=1という関数で0≦x<1

では面積1と教えられますが、よく現象を観察するとx=1の点が完全に抜け落ちてる。

y=1という関数で0≦x≦1ならば面積1はわかるが、

y=1という関数で0≦x<1の面積は点が抜け落ちてるので1ではない。1ではないが限りなく1に近い数、というので1-εと置く。ここでεは0ではないがどんな正の実数よりも小さい数という性質を持つ。

ここでεがどんな性質を持つか考えてみると0.9*εは、式の見た目上どう見てもεより小さい。そして実数よりも小さい。よって0ではないがどんな実数よりも小さい数は複数あるので集合を形成する→無限小超実数空間がある。

そしてε*εはεの集合が形成するどんな数よりも小さい。こういう数をどんどん小さくしていく論法を使うと無限に小さい空間がいくらでも作れる。だからもっと一般化してa<bという大小関係が定義された二つの数があったらa<c<bという新しいcという数を作っていいと思いますね。」


という風に

a<bという関係が与えられたらa<c<bという新しい数を作っていい、

のが認められる時連続と定義する、というのが正確だと思いますね。

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